Максимальная скорость на велосипеде при спуске с холма зависит от нескольких факторов, включая угол наклона поверхности, вес велосипедиста и велосипед, а также физические условия (ветер, трение). Обычно, чем больше угол наклона, тем выше возможная скорость, так как сила тяжести способствует ускорению.
Однако важно помнить о безопасности: при увеличении скорости растёт риск потери контроля и возникновения аварийных ситуаций. Поэтому, хотя теоретически можно развивать высокие скорости, рекомендуется подходить к спускам осторожно и оценивать риски.
Кинематика Перемещение. Путь. Равномерное движение
293. Масса некой планеты в 4,5 раза превышает массу Земли, а ее радиус в 2 раза больше радиуса Земли. На сколько процентов первая космическая скорость для этой планеты больше, чем для Земли? (50)
294. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы двигаться по круговой орбите на высоте 3600 км над поверхностью Земли? Радиус Земли составляет 6400 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли равно 10 м/с². (6400)
295. Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора на высоте, равной радиусу планеты. Найдите линейную скорость (в км/с) спутника. Радиус планеты равен 7200 км. Ускорение свободного падения на поверхности планеты составляет 10 м/с². (6)
296 . Космический корабль движется по круговой орбите радиусом 13000 км около некоторой планеты со скоростью 10 км/с. Каково ускорение силы тяжести на поверхности этой планеты, если ее радиус 10000 км? (13)
297 . На сколько раз период обращения спутника, который движется на высоте 21600 км от поверхности Земли, превышает период обращения спутника, находящегося на высоте 600 км над ней? Радиус Земли составляет 6400 км. (8)
298 . Планета, вращающаяся по круговой орбите вокруг Солнца, имеет период обращения равный 27 годам. Во сколько раз расстояние от этой планеты до Солнца больше, чем расстояние от Земли до Солнца? (9)
299 . Во сколько раз увеличится радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, если период его обращения увеличить в 27 раз? (9)
На некоторой планете был выведен спутник связи, то есть спутник, который всегда находится над одной и той же точкой на поверхности планеты. Вопрос: во сколько раз высота данного спутника над поверхностью больше радиуса планеты, учитывая, что другой спутник, находящийся на небольшой высоте, совершает 8 полных оборотов за время одних планетарных суток? (3)
Динамика кругового движения
а) Одна проекция
301 . К одному концу резинового шнура прикрепили шарик массой 50 г, другой его конец закрепили на горизонтальной гладкой поверхности и привели шарик во вращение по поверхности с угловой скоростью 20 рад/с. Найдите удлинение (в см) шнура, если его жесткость 100 Н/м, а первоначальная длина 40 см. (10)
302 . Небольшой груз массой 0,5 кг может перемещаться без трения по горизонтальному стержню, прикрепленному к вертикальной оси. Груз связан с осью пружиной. Какова жесткость пружины, если при вращении стержня вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 3 рад/с пружина растягивается в 2 раза? (9)
303 . Невесомый стержень вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 30 рад/с. На расстояниях 0,4 м и 0,3 м от оси вращения закреплены грузы, имеющие массы 0,2 кг и 0,1 кг соответственно. Какая горизонтальная сила действует на ось вращения, если ось находится между грузами? (45)
304 . В кабине, укрепленной на конце штанги, находится человек. Штанга с кабиной вращается в вертикальной плоскости с угловой скоростью 0,7 рад/с. Какова должна быть длина штанги, чтобы человек в верхней точке траектории испытывал состояние невесомости? g = 9,8 м/с 2 . (20)
305 . Какую минимальную скорость должен развить автомобиль массой 2000 кг, чтобы благополучно проехать по выпуклому мосту с радиусом кривизны 100 м, выдерживающему нагрузку не более 18000 Н? g = 10 м/с 2 . (10)
306 . Машина массой 2 т движется со скоростью 72 км/ч по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 100 м. С какой силой (в кН) давит машина на мост, проезжая через его середину? g = 10 м/с 2 . (12)
307 . Лыжник массой 65 кг движется по вогнутому участку дороги с радиусом кривизны 20 м. Определите силу давления лыж на дорогу в низшей точке этого участка, если скорость движения лыжника 2 м/с. g = 9,8 м/с 2 . (650)
308 . Определите радиус горбатого моста, имеющего вид дуги окружности, если известно, что давление автомобиля, движущегося со скоростью 90 км/ч, в верхней точке моста уменьшилось вдвое (по сравнению с давлением на горизонтальном участке дороги). g = 10 м/с 2 . (125)
309 . Автомобиль массой 1000 кг едет по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 250 м, со скоростью 72 км/ч. С какой силой (в кН) давит автомобиль на мост в точке, направление на которую из центра кривизны моста составляет 30° с вертикалью? g = 10 м/с 2 . = 1,72. (7)
310 . Какова скорость автомобиля, движущегося по выпуклому мосту с радиусом кривизны 63 м, если давление автомобиля на мост в его верхней части в два раза превышает давление в точке, угол наклона которой относительно вертикали составляет 30°? Учитываем g = 10 м/с². = 1,7. (21)
311 . К невесомому стержню длиной 50 см прикреплен шарик массой 400 г, который равномерно вращается в вертикальной плоскости. При какой минимальной угловой скорости вращения произойдет разрыв стержня, если он выдерживает максимальную нагрузку 24 Н? g = 10 м/с 2 . (10)
312 . Небольшой шарик массой 250 г, прикрепленный к концу нити, равномерно вращают в вертикальной плоскости. На сколько сила натяжения нити в нижней точке траектории больше, чем в верхней? g = 10 м/с 2 . (5)
313 . Тело массой 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной 1 м. Ось вращения расположена над полом на высоте 2 м. При прохождении нижнего положения нить обрывается, и тело падает на пол на расстоянии 4 м (по горизонтали) от точки обрыва нити. Определите силу натяжения нити в момент ее обрыва. g = 10 м/с 2 . (9)
314 . Математический маятник массой 1 кг и длиной 20 см совершает колебания в вертикальной плоскости. В момент, когда нить маятника образует угол 60° с вертикалью, скорость груза маятника равна 1 м/с. Какова в этот момент сила натяжения нити? g = 10 м/с 2 . (10)
315 . Тело массой 2 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной 1 м. Когда тело проходит точку, расположенную на 0,5 м ниже точки подвеса нити, она обрывается. После этого тело поднимается на 4 м выше точки подвеса. Чему было равно натяжение нити перед обрывом? g = 10 м/с 2 . (250)
316 . Самолет делает "мертвую петлю". Определите силу давления летчика на сиденье в нижней точке траектории, если масса летчика 70 кг, скорость самолета 100 м/с, а радиус окружности ("петли") 200 м. g = 10 м/с 2 . (4200)
317 . Самолет делает "мертвую петлю". В нижней точке траектории сила, прижимающая летчика к сиденью, в 5 раз больше силы тяжести. В верхней точке летчик испытывает состояние невесомости. Во сколько раз скорость самолета в нижней точке больше, чем в верхней? (2)
318 . Вес некоторого тела на полюсе Земли на 313,6 мН больше, чем его вес на экваторе. Чему равна масса этого тела? Угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси 710 ‑ 5 рад/с, радиус Земли 6400 км. Землю считать идеальным шаром. (10)
319 . При переносе тела с полюса некоторой планеты на экватор его вес уменьшается на 20%. Угловая скорость вращения планеты 0,001 рад/с, ее радиус 3000 км. Чему равно ускорение свободного падения на этой планете? Планету считать идеальным шаром. (15)
320. Спортивный автомобиль весом 2500 кг движется по шоссе сVelocity 360 км/ч вдоль экватора. Каково различие в силах давления автомобиля на дорожное покрытие при его движении с запада на восток и с востока на запад? Угловая скорость вращения Земли составляет 7,3·10 ‑ 5 рад/с. (73)
321 . Тонкую цепочку длиной 1 м и массой 200 г замкнули в круглое кольцо, положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг вертикальной оси так, что скорость каждого элемента цепочки равна 5 м/с. Найдите натяжение цепочки. (5)
322 . Резиновый шнур длиной 0,8 м и массой 300 г имеет форму круглого кольца. Его положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг вертикальной оси так, что скорость каждого элемента кольца равна 3 м/с. Найдите удлинение (в см) шнура, если его жесткость 30 Н/м. (10)
323 . На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии 10 см от оси вращения лежит груз. Коэффициент трения между грузом и платформой 0,01. При какой угловой скорости вращения платформы груз начнет скользить? g = 10 м/с 2 . (1)
324 . С какой максимальной скоростью может проходить автомобиль поворот дороги радиусом закругления 400 м, если коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой 0,1? g = 10 м/с 2 . (20)
325 . С какой минимальной скоростью должен ехать мотоциклист по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом 10 м, чтобы все время оставаться в одной горизонтальной плоскости? Коэффициент трения между шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра 0,25. g = 10 м/с 2 . (20)
326 . Самолет, летящий со скоростью 540 км/ч, наклоняется при повороте на угол, тангенс которого 0,3. Чему равен радиус поворота? g = 10 м/с 2 . (7500)
327 . Шарик, подвешенный на легкой нити к потолку, вращается по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Расстояние между точкой подвеса и центром окружности 2,5 м. Найдите угловую скорость вращения шарика. g = 10 м/с 2 . (2)
328 . С какой скоростью должен вращаться шарик внутри гладкой сферы радиусом 28 см, чтобы все время оставаться в горизонтальной плоскости на высоте 20 см от нижней точки сферы? g = 10 м/с 2 . (3)
329 . Гирька массой 100 г, привязанная к резиновому шнуру, вращается с угловой скоростью 10 рад/с по окружности в горизонтальной плоскости так, что шнур составляет 60° с вертикалью. Найдите длину (в см) нерастянутого шнура, если его жесткость 40 Н/м. g = 10 м/с 2 . (15)
330. Изгиб дороги с радиусом 100 м спрофилирован таким образом, что дорожное полотно наклонено внутрь поворота с углом, тангенс которого равен 0,4. Какова будет оптимальная скорость (в км/ч) при прохождении данного поворота? Ускорение свободного падения g = 10 м/с². (72)
331 . Какова максимально допустимая скорость движения мотоциклиста на повороте наклонного трека с углом наклона к горизонту 45°, если радиус закругления 30 м, а коэффициент трения 0,5? g = 10 м/с 2 . (30)
332 . Мотоциклист производит поворот на наклонном треке. Во сколько раз максимально допустимая скорость движения больше минимальной, если коэффициент трения 0,75, а угол наклона трека к горизонту 45°? Поворот надо пройти без проскальзывания колес по треку. (7)
333 . На внутренней поверхности сферы радиусом 2,75 м находится маленькая шайба. До какой максимальной угловой скорости можно раскрутить сферу вокруг вертикальной оси, чтобы шайба не проскальзывала, находясь на 165 см ниже ее центра? Коэффициент трения 0,5, g = 10 м/с 2 . (5)
334 . На внутренней поверхности сферы радиусом 12,5 см находится маленькая шайба. До какой минимальной угловой скорости нужно раскрутить сферу вокруг вертикальной оси, чтобы шайба не проскальзывала, находясь на 7,5 см ниже ее центра? Коэффициент трения 0,5, g = 9,8 м/с 2 . (7)
335 . С какой максимальной скоростью можно кататься на велосипеде по поверхности холма, имеющего форму полусферы радиусом 48 м, оставаясь все время на высоте 38,4 м (отсчитанной от центра кривизны). Коэффициент трения колес о землю 0,8. g = 10 м/с 2 . (3)
336 . В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиусом 8,5 м, оставаясь все время на 5,1 м выше центра сферы. При какой минимальной скорости это возможно? Коэффициент трения между колесами и поверхностью сферы 0,92. g = 10 м/с 2 . (26)
337 . Цепочку длиной 1 м и массой 157 г замкнули в кольцо и надели сверху на гладкий круговой конус с вертикальной осью и углом полураствора 45°. Каким будет натяжение (в мН) цепочки, если конус привести во вращение так, чтобы каждый элемент цепочки имел скорость 2 м/с? Принять =3,14, g = 10 м/с 2 . (878)
338 . Замкнутая цепочка массой 157 г надета «с натягом» на жесткий вертикальный цилиндр радиусом 5 см. Натяжение цепочки равно 3 Н. До какой угловой скорости надо раскрутить цилиндр, чтобы цепочка с него соскользнула вниз? Коэффициент трения цепочки о цилиндр 0,1, g = 10 м/с 2 . Принять =3,14. (20)
3. Закон сохранения импульса
339. Два шара, масса одного из которых составляет 1 кг, а другого 2 кг, движутся параллельно в одном направлении с скоростями 4 м/с и 6 м/с, соответственно. Каково значение общего импульса этих двух шаров? (16)
340 . Два одинаковых шарика массами 2 кг движутся навстречу друг другу. Скорость одного шарика 3 м/с, другого 7 м/с. Найдите величину суммарного импульса двух шариков. (8)
341 . Два одинаковых шарика массами 3 кг движутся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями 3 м/с и 4 м/с. Чему равна величина полного импульса этой системы? (15)
342 . Шарик массой 2 кг движется со скоростью 4 м/с, а шарик массой 1 кг — со скоростью 3 м/с. Найдите величину полного импульса системы двух шариков, если их скорости направлены под углом 120° друг к другу. (7)
343 . Шарик массой 0,1 кг упал на горизонтальную площадку, имея в момент падения скорость 10 м/с. Найдите изменение импульса шарика при абсолютно неупругом ударе. В ответе укажите модуль полученной величины. (1)
344 . Пуля массой 10 г пробила стенку, при этом скорость ее уменьшилась от 800 м/с до 400 м/с. Найдите изменение импульса пули. В ответе укажите модуль полученной величины. (4)
345 . Шарик массой 0,2 кг свободно упал на горизонтальную площадку, имея в момент падения скорость 15 м/с. Найдите изменение импульса шарика при абсолютно упругом ударе. В ответе укажите модуль полученной величины. (6)
346 . Тело массой 2 кг свободно падает без начальной скорости с высоты 5 м на горизонтальную поверхность и отскакивает от нее со скоростью 5 м/с. Найдите абсолютную величину изменения импульса тела при ударе. g = 10 м/с 2 . (30)
347 . Тело массой 1 кг равномерно вращается по окружности радиусом 1 м с угловой скоростью 2 рад/с. Найдите модуль изменения импульса тела при повороте радиуса-вектора, проведенного из центра окружности к телу, на 180°. (4)
348 . Тело массой 2 кг двигалось по окружности, причем в некоторой точке оно имело скорость 4 м/с. Пройдя четверть окружности, тело приобрело скорость 3 м/с. Определите модуль изменения импульса тела. (10)
349 . Мяч весом 200 г двигался со скоростью 20 м/с. После столкновения со стеной он отскочил под прямым углом к предыдущему направлению со скоростью 15 м/с. Определите величину изменения импульса мяча при столкновении. (5)
350 . Мячик массой 200 г летел со скоростью 25 м/с. После удара о стенку он отскочил под углом 120° к прежнему направлению со скоростью 15 м/с. Найдите модуль изменения импульса мячика при ударе. (7)
Изменение импульса и средняя сила
351 . Из орудия вылетает снаряд со скоростью 600 м/с. Определите массу снаряда, если средняя сила давления пороховых газов равна 2700 кН и снаряд движется внутри ствола 0,002 с. (9)
352 . Мяч массой 100 г, летящий со скоростью 2 м/с, пойман на лету. Какова средняя сила удара мяча о руку, если он остановился за 0,02 с? (10)
353 . Молот массой 1000 кг падает с высоты 1,8 м на наковальню. Длительность удара 0,1 с. Удар неупругий. Определите среднее значение силы взаимодействия (в кН) молота и наковальни. g = 10 м/с 2 . (70)
354 . Металлический шарик массой 20 г, падающий со скоростью 5 м/с, ударяется упруго о стальную плиту и отскакивает от нее в противоположном направлении с такой же по модулю скоростью. Найдите среднюю силу взаимодействия шарика с плитой за время соударения, если оно длилось 0,01 с. Действием силы тяжести за время удара пренебречь. (20)
355 . Стальной шарик массой 0,1 кг падает на горизонтальную плоскость с высоты 0,2 м и отскакивает после удара снова до высоты 0,2 м. Найдите среднюю силу давления шарика на плоскость при ударе, если его длительность 0,04 с. g = 10 м/с 2 . (11)
356 . Стальной шарик падает на горизонтальную поверхность стола с высоты 45 см и, отскочив, поднимается на высоту 20 см. Масса шарика 20 г. Какова средняя сила, с которой шарик действовал на стол при ударе, если соприкосновение шарика со столом длилось 10 ‑ 4 с? Действием силы тяжести за время удара пренебречь. g = 10 м/с 2 . (1000)
357 . Мячик массой 300 г летел со скоростью 20 м/с. После удара о стенку он отскочил под прямым углом к прежнему направлению движения со скоростью 15 м/с. Какова средняя сила взаимодействия мячика и стенки во время удара, если продолжительность удара 0,05 с? (150)
358. Мячик с массой 0,5 кг отскакивает от поверхности, имея скорость 10 м/с перед столкновением, которая направлена под углом 60° к вертикали. Вычислите среднюю силу, действующую между мячом и полом, если время воздействия составляет 0,1 с. Предполагается, что удар абсолютно упругий. g = 10 м/с². (55)
359 . Стальной шарик массой 40 г, летящий горизонтально со скоростью 20 м/с, ударяется о наклонную плоскость, составляющую угол 30° с горизонтом. Считая удар абсолютно упругим, найдите среднюю силу взаимодействия шарика с наклонной плоскостью. Продолжительность удара 0,01 с. Действием силы тяжести за время удара пренебречь. (80)
360 . Какова средняя сила давления на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули 10 г, а скорость пули при вылете 300 м/с? Автомат делает 300 выстрелов в минуту. (15)
361 . Ракета массой 2 т неподвижно висит над землей, выбрасывая вниз реактивную струю со скоростью 1250 м/с. Какая масса газов выбрасывается в струе за 1 с? g = 10 м/с 2 . (16)
362 . С каким ускорением будет подниматься c поверхности земли ракета массой 1 т, если она выбрасывает вертикально вниз 10 кг раскаленных газов в секунду со скоростью 1500 м/с? g = 10 м/с 2 . (5)
363 . Ракета массой 3 т поднимается вертикально вверх с ускорением 5,6 м/с 2 , находясь на высоте 1600 км над поверхностью Земли. Какая масса газов выбрасывается из сопла ракеты за 1 с? Скорость выброса газов 1800 м/с. Радиус Земли 6400 км. g = 10 м/с 2 . (20)
364 . На ракете массой 5 т, летящей в глубоком космосе со скоростью 6 км/с, для совершения поворота включают боковой реактивный двигатель. Скорость газов в реактивной струе 2 км/с, расход топлива 10 кг/с. По окружности какого радиуса (в км) происходит поворот? (9000)
365 . Ракета массой 4 т выведена на круговую орбиту, радиус которой вдвое больше радиуса Земли. При совершении маневра она некоторое время двигалась по той же орбите, но с удвоенной скоростью. Какую массу газов в секунду должен выбрасывать реактивный двигатель для поддержания такого движения, если скорость газов в струе 1500 м/с? g = 10 м/с 2 . (20)
366 . При посадке на планету, лишенную атмосферы, космический корабль сначала облетает ее на малой высоте с выключенными двигателями. Затем он уменьшает скорость на 20%, и при новом режиме облета расход реактивного топлива составляет 3 кг/с. Каким будет расход топлива при уменьшении скорости облета еще вдвое? Скорость выброса газов постоянна. (7)
367 . Струя воды ударяется о вертикальную стену, расположенную перпендикулярно к струе. После удара вода стекает вниз по стене. Найдите силу, с которой струя действует на стену, если площадь сечения струи 5 см 2 , а ее скорость 8 м/с. (32)
368. Перед осуществлением прыжка змея поднимает свою голову с вертикальной скоростью 10 см/с. Предполагая, что масса змеи составляет 2 кг и равномерно распределена по ее длине, равной 80 см, определите, на сколько миллиньютонов увеличивается сила давления змеи на поверхность земли. (25)
369 . Тонкую мягкую цепочку массой 200 г удерживают за один конец так, что другой ее конец касается стола. Цепочку отпускают, и она падает на стол. Считая, что все элементы цепочки, находящиеся в воздухе, падают свободно, найдите силу давления на стол в тот момент, когда в воздухе находится половина цепочки. g = 10 м/с 2 . (3)
